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À propos de π et de ses amis
Par : Jim
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Nos amis grecs n'étaient pas fadas. L'un d'eux, Pythagore de Samos, s'arracha les cheveux qui lui restaient quand il voulut calculer la valeur de la diagonale d'un carré de côté unitaire. En effet, aucune combinaison de nombres connus, au moyen des quatre opérations, ne permettait d'obtenir cette valeur. Un tel nombre semblait échapper à toute raison, puisque non calculable à partir des nombres déjà connus, lesquels avaient la décence de se laisser faire. Pythagore resta bloqué devant cette étrange bête, inassimilable au connu, mais existant bel et bien : il venait, en toute innocence, de mettre le pied sur un nouveau territoire ; pour lui, toute terre devait être rattachée au continent, il suffisait d'en trouver le chemin. Il ignorait la notion d'île (pour un grec, ça la fout mal!). Il s'agissait pourtant bien d'un nouveau continent. Cela était d'autant plus difficile, pour lui et ses semblables, à concevoir, que pour eux n'existait que ce qui était constructible à la règle et au compas (nombres algébriques) : ce qui est bien le cas de notre diagonale. Ils étaient face à du constructible non calculable (à leur époque). D'où le terme, plus légitime que légal, d'irrationnel.
Dans une autre Grèce, la Sicile, sévissait un amateur de bains prolongés (il avait des problèmes de peau), Archimède. Habile manipulateur, il mesura le volume d'une sphère de diamètre unitaire en la plongeant dans un cube empli d'eau de côté de même valeur, en récupérant l'eau ayant débordé. Il observa, en faisant varier le diamètre, que le volume de la sphère, rapporté au cube de son rayon, donnait toujours le même nombre.
Il s'intéressa aussi à la surface du cercle. En décomposant celui-ci en une multitude de petits triangles isocèles, puis en calculant la somme de leurs surfaces, il approcha celle du cercle, d'autant plus finement que les triangles étaient nombreux et petits. Cette surface, rapportée au carré de son rayon, tendait vers une valeur toujours identique à elle-même quelle que soit la valeur du rayon.
Enfin, plus les triangles étaient petits, plus la somme de leurs bases s'approchait de la circonférence du cercle, la valeur de cette dernière rapportée au rayon tendant elle aussi vers une constante invariante.
En comparant ces trois constantes obtenues (volume, surface, diamètre), il mit à jour une constante commune qui s'avère être un nombre que, d'une part on ne peut calculer à l'aide des quatre opérations entre nombres entiers (c'est donc un irrationnel), que d'autre part, on ne peut déterminer à l'aide de la règle et du compas (ce n'est donc pas un algébrique). Archimède mit le doigt sur un nombre à la fois irrationnel et non algébrique, que l'on qualifie aujourd'hui de transcendant. Ce nombre, superbement irrationnel puisque de surcroît transcendant, est désigné par la lettre π. Ce n'est donc pas n'importe quel irrationnel. Il n'existe pas de procédures, entre irrationnels non transcendants, génératrice d'un transcendant. L'ensemble des transcendants est un sous ensemble des irrationnels. Ainsi, toutes les propriétés des irrationnels se retrouvent chez les transcendants. Par contre, le produit d'un irrationnel quelconque par un transcendant donne toujours un transcendant.
En existe-t-il d'autres ? Oui, conformément à la conclusion précédente, toute combinaison d'un transcendant par les quatre opérations avec d'autres nombres réels (l'ensemble de tous les nombres existants) donne un transcendant. Ce sont tous les transcendants issus de π (le seul que l'on connaisse à ce stade de notre propos).
Existe-t-il des transcendants non issus de π ? Oui. Par exemple le fameux nombre d'Euler caractéristique des exponentielles :
e = 2,7182818285... Je passe sur sa découverte qui est jolie jolie !
Il est à noter que le produit πe est un transcendant, etc. De même que 1/(πe) en est un. Alors, a = √2/(πe) est un transcendant a = 0,1656039316... Autrement dit, le produit d'un transcendant, tel que « a » par le transcendant produit (πe), donne l'irrationnel algébrique √2 : aπe = √2. On peut donc extraire tous les algébriques de l'ensemble des transcendants ; autrement dit, l'ensemble des transcendants génère les irrationnels.
Une question se pose : de combien d'éléments indépendants se compose l'ensemble des transcendants ?
Si on multiplie le transcendant « e » par cet autre 1,9539548638..., on obtient 5,3114... aussi transcendant, qui n'est pas sans rappeler π (somme des termes = 14).
Voici l'un des schémas recensés d'un quatorzain irrationnel !
Ce message a été édité - le 28-07-2023 à 22:37 par Jim
Dans une autre Grèce, la Sicile, sévissait un amateur de bains prolongés (il avait des problèmes de peau), Archimède. Habile manipulateur, il mesura le volume d'une sphère de diamètre unitaire en la plongeant dans un cube empli d'eau de côté de même valeur, en récupérant l'eau ayant débordé. Il observa, en faisant varier le diamètre, que le volume de la sphère, rapporté au cube de son rayon, donnait toujours le même nombre.
Il s'intéressa aussi à la surface du cercle. En décomposant celui-ci en une multitude de petits triangles isocèles, puis en calculant la somme de leurs surfaces, il approcha celle du cercle, d'autant plus finement que les triangles étaient nombreux et petits. Cette surface, rapportée au carré de son rayon, tendait vers une valeur toujours identique à elle-même quelle que soit la valeur du rayon.
Enfin, plus les triangles étaient petits, plus la somme de leurs bases s'approchait de la circonférence du cercle, la valeur de cette dernière rapportée au rayon tendant elle aussi vers une constante invariante.
En comparant ces trois constantes obtenues (volume, surface, diamètre), il mit à jour une constante commune qui s'avère être un nombre que, d'une part on ne peut calculer à l'aide des quatre opérations entre nombres entiers (c'est donc un irrationnel), que d'autre part, on ne peut déterminer à l'aide de la règle et du compas (ce n'est donc pas un algébrique). Archimède mit le doigt sur un nombre à la fois irrationnel et non algébrique, que l'on qualifie aujourd'hui de transcendant. Ce nombre, superbement irrationnel puisque de surcroît transcendant, est désigné par la lettre π. Ce n'est donc pas n'importe quel irrationnel. Il n'existe pas de procédures, entre irrationnels non transcendants, génératrice d'un transcendant. L'ensemble des transcendants est un sous ensemble des irrationnels. Ainsi, toutes les propriétés des irrationnels se retrouvent chez les transcendants. Par contre, le produit d'un irrationnel quelconque par un transcendant donne toujours un transcendant.
En existe-t-il d'autres ? Oui, conformément à la conclusion précédente, toute combinaison d'un transcendant par les quatre opérations avec d'autres nombres réels (l'ensemble de tous les nombres existants) donne un transcendant. Ce sont tous les transcendants issus de π (le seul que l'on connaisse à ce stade de notre propos).
Existe-t-il des transcendants non issus de π ? Oui. Par exemple le fameux nombre d'Euler caractéristique des exponentielles :
e = 2,7182818285... Je passe sur sa découverte qui est jolie jolie !
Il est à noter que le produit πe est un transcendant, etc. De même que 1/(πe) en est un. Alors, a = √2/(πe) est un transcendant a = 0,1656039316... Autrement dit, le produit d'un transcendant, tel que « a » par le transcendant produit (πe), donne l'irrationnel algébrique √2 : aπe = √2. On peut donc extraire tous les algébriques de l'ensemble des transcendants ; autrement dit, l'ensemble des transcendants génère les irrationnels.
Une question se pose : de combien d'éléments indépendants se compose l'ensemble des transcendants ?
Si on multiplie le transcendant « e » par cet autre 1,9539548638..., on obtient 5,3114... aussi transcendant, qui n'est pas sans rappeler π (somme des termes = 14).
Voici l'un des schémas recensés d'un quatorzain irrationnel !
Ce message a été édité - le 28-07-2023 à 22:37 par Jim
Posté à 22h10 le 28 juil. 23
Les oulipiens auraient donc aussi bien pu baptiser l'invention de Jacques Bens "sonnet transcendant".
Ce qui fait bien plus chicos et en aurait imposé à Madame Toutlemonde et au littéraire de base.
Et m'aurait privé du plaisir de galéjer.
Ce qui fait bien plus chicos et en aurait imposé à Madame Toutlemonde et au littéraire de base.
Et m'aurait privé du plaisir de galéjer.
Posté à 06h50 le 29 juil. 23
Je n'ai pas pris "Math" en langue vivante 2 mais ça m'intrigue... J'attends quelques explications sur le nombre d'or... A ta façon, bien sûr.
Posté à 11h37 le 30 juil. 23
Pour faire plaisir à Pierre, voici l'une des plus belles formule de math, parce qu'elle lie :
- l'élément neutre de l'addition « 0 »
- l'élément neutre de la multiplication « 1 »
- le transcendant « π »
- le transcendant « e »
- le nombre imaginaire « i » défini par i2 = -1 (i à la puissance 2)
à savoir la relation d'Euler (sacré Léonard!) : eiπ + 1 = 0 (e à la puissance iπ)
Je pense à toi, Lau, divin petit taquin de muses !
Ce nombre, dit d'or, cause de bien de fantasmes, n'en est pas moins intéressant en raison des domaines en lesquels il apparaît. Il n'est qu'un algébrique, donc plus très mystérieux, mais ! Nous verrons, que digne représentant d'une harmonie simple, il est question de lapinous printaniers, de probabilités et même de poésie indienne, en sanskrit, datant de quatre siècles avant Jean Christophe !
- l'élément neutre de l'addition « 0 »
- l'élément neutre de la multiplication « 1 »
- le transcendant « π »
- le transcendant « e »
- le nombre imaginaire « i » défini par i2 = -1 (i à la puissance 2)
à savoir la relation d'Euler (sacré Léonard!) : eiπ + 1 = 0 (e à la puissance iπ)
Je pense à toi, Lau, divin petit taquin de muses !
Ce nombre, dit d'or, cause de bien de fantasmes, n'en est pas moins intéressant en raison des domaines en lesquels il apparaît. Il n'est qu'un algébrique, donc plus très mystérieux, mais ! Nous verrons, que digne représentant d'une harmonie simple, il est question de lapinous printaniers, de probabilités et même de poésie indienne, en sanskrit, datant de quatre siècles avant Jean Christophe !
Posté à 06h02 le 31 juil. 23
... et pour faire plaisir à Lau:
Chose promise, chose due !
Démystifions le nombre d'or qui, comme on va le voir, n'est qu'un irrationnel algébrique.
Convention : ↑n, élévation à la puissance n.
On considère un grand rectangle GR qui contient un petit rectangle PR, avec un côté commun : le Petit Côté du Grand Rectangle vaut le Grand Côté du Petit Rectangle.
Je veux que les côtés soient proportionnels (homothétie). On a donc les côtés : GR(a, b) et PR(a', b') tels que a/a' = b/b' (a < a', b < b').
Le fait que, par construction, PCGR = GCPR, se traduit par a = b'. Il en résulte que a↑2 = a' b (*)
On voit apparaître le carré de surface SC = a↑2.
Considérons dans le GR le carré de côté a. La somme des surfaces s'écrit :
SC + SPR = SGR, c.à.d. : a↑2 + aa' = ab, expression de laquelle on déduit : a' = b – a.
Compte tenu de (*), on obtient : a↑2 b + a↑3 = a b↑2
Après simplification : b↑2 - a↑2 = ab
C'est la relation clé, on a presque fini.
Posons φ = b/a, alors : φ↑2 – φ - 1 = 0.
La résolution de cette équation algébrique donne le nombre d'or :
φ = ½ (1 + √5) ou, si l'on préfère : φ = 1.6180339887...
Celui-ci exprime donc l'homothétie de rectangles inscrits l'un dans l'autre (oh, les coquins !). Voici donc la fameuse harmonie !!!
On subodore la raison pour laquelle les lapinous affectionnent ce nombre d'or...
Fibonacci, fin observateur, modélisa la reproduction de couples de lapins par la suite de nombres entiers suivante :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 35, 56, … u(n – 1), u(n), u(n + 1), …
Autrement dit, tout terme est la somme des deux antécédents immédiats :
21 = 8 + 13, …, u(n+1) = u(n-1) + u(n)
On peut alors comparer le produit des extrêmes au carré du moyen terme, à savoir : u(n+1) u(n-1) à u(n)↑2.
Ainsi, 1 x 3 ≈ 2↑2, 2 x 5 ≈ 3↑2, …, 13 x 35 ≈ 21↑2, etc. Plus l'ordre n est grand, plus cette comparaison s'affirme, autrement dit, pour n très grand, on peut écrire : u(n+1) u(n-1) = u(n)↑2, autrement dit :
u(n+1)/u(n) = u(n)/u(n-1)
Cette relation est de la même forme que a↑2 = a' b <=> a/a' = b/a.
En conséquence, le rapport u(n+1)/u(n) donne le nombre d'or :
φ = u(n+1)/u(n) = u(n)/u(n-1)
Les lapins sont homothétiques ! Ils ne sont pas les seuls... Voici de quoi mettre à mal le FN et ses acolytes. Le monde sera sauvé grâce au théorème de l’emboîtement universel !
Le hasard fait bien les choses, c'est ce que montra Pascal en récupérant, auprès des indiens d'Inde, le triangle dit de lui-même. Il en eût besoin pour traiter le problème des paris que lui posa son pote le chevalier de Mérée. Pour dire les choses simplement, quand on joue à pile ou face un grand nombre de fois, on tombe un nombre quasi égal de fois sur pile ou sur face (en supposant que la pièce n'est pas pipée). On recense donc tous les résultats piles ou faces après avoir lancé un grand nombre de fois la pièce. On obtient alors le tableau :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6
…
En traçant le graphe représentatif de ces quantités, pour un ordre très grand, on obtient la courbe bien connue de distribution en forme de cloche, dite de Gauss. Elle est caractéristique d'une distribution à l'équilibre. On observe dans le tableau ci-dessus sa symétrie centrale. On constate que chaque terme s'obtient par somme des deux antécédents immédiats, par exemple : 4 + 6 =10, 10 + 5 = 15, 15 + 20 = 35, etc. Ce qui n'est pas sans rappeler la règle de composition de la suite de Fibonacci...
Si on lit ce tableau selon la diagonale montant du bas-gauche vers le haut-droit, on trouve les suites :
1, (1, 1), (1, 2), (1, 3, 1), (1, 4, 3), (1, 5, 6, 1), …
dont les sommes donnent : 1, 2, 3, 5, 8, 13,... soit les termes de la suite de Fibonacci. Dit autrement, le nombre d'or se cache aussi dans une distribution à l'équilibre (ah ! L'harmonie!). Du régulier surgit du hasard !
Ce message a été édité - le 02-08-2023 à 05:34 par Jim
Chose promise, chose due !
Démystifions le nombre d'or qui, comme on va le voir, n'est qu'un irrationnel algébrique.
Convention : ↑n, élévation à la puissance n.
On considère un grand rectangle GR qui contient un petit rectangle PR, avec un côté commun : le Petit Côté du Grand Rectangle vaut le Grand Côté du Petit Rectangle.
Je veux que les côtés soient proportionnels (homothétie). On a donc les côtés : GR(a, b) et PR(a', b') tels que a/a' = b/b' (a < a', b < b').
Le fait que, par construction, PCGR = GCPR, se traduit par a = b'. Il en résulte que a↑2 = a' b (*)
On voit apparaître le carré de surface SC = a↑2.
Considérons dans le GR le carré de côté a. La somme des surfaces s'écrit :
SC + SPR = SGR, c.à.d. : a↑2 + aa' = ab, expression de laquelle on déduit : a' = b – a.
Compte tenu de (*), on obtient : a↑2 b + a↑3 = a b↑2
Après simplification : b↑2 - a↑2 = ab
C'est la relation clé, on a presque fini.
Posons φ = b/a, alors : φ↑2 – φ - 1 = 0.
La résolution de cette équation algébrique donne le nombre d'or :
φ = ½ (1 + √5) ou, si l'on préfère : φ = 1.6180339887...
Celui-ci exprime donc l'homothétie de rectangles inscrits l'un dans l'autre (oh, les coquins !). Voici donc la fameuse harmonie !!!
On subodore la raison pour laquelle les lapinous affectionnent ce nombre d'or...
Fibonacci, fin observateur, modélisa la reproduction de couples de lapins par la suite de nombres entiers suivante :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 35, 56, … u(n – 1), u(n), u(n + 1), …
Autrement dit, tout terme est la somme des deux antécédents immédiats :
21 = 8 + 13, …, u(n+1) = u(n-1) + u(n)
On peut alors comparer le produit des extrêmes au carré du moyen terme, à savoir : u(n+1) u(n-1) à u(n)↑2.
Ainsi, 1 x 3 ≈ 2↑2, 2 x 5 ≈ 3↑2, …, 13 x 35 ≈ 21↑2, etc. Plus l'ordre n est grand, plus cette comparaison s'affirme, autrement dit, pour n très grand, on peut écrire : u(n+1) u(n-1) = u(n)↑2, autrement dit :
u(n+1)/u(n) = u(n)/u(n-1)
Cette relation est de la même forme que a↑2 = a' b <=> a/a' = b/a.
En conséquence, le rapport u(n+1)/u(n) donne le nombre d'or :
φ = u(n+1)/u(n) = u(n)/u(n-1)
Les lapins sont homothétiques ! Ils ne sont pas les seuls... Voici de quoi mettre à mal le FN et ses acolytes. Le monde sera sauvé grâce au théorème de l’emboîtement universel !
Le hasard fait bien les choses, c'est ce que montra Pascal en récupérant, auprès des indiens d'Inde, le triangle dit de lui-même. Il en eût besoin pour traiter le problème des paris que lui posa son pote le chevalier de Mérée. Pour dire les choses simplement, quand on joue à pile ou face un grand nombre de fois, on tombe un nombre quasi égal de fois sur pile ou sur face (en supposant que la pièce n'est pas pipée). On recense donc tous les résultats piles ou faces après avoir lancé un grand nombre de fois la pièce. On obtient alors le tableau :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6
…
En traçant le graphe représentatif de ces quantités, pour un ordre très grand, on obtient la courbe bien connue de distribution en forme de cloche, dite de Gauss. Elle est caractéristique d'une distribution à l'équilibre. On observe dans le tableau ci-dessus sa symétrie centrale. On constate que chaque terme s'obtient par somme des deux antécédents immédiats, par exemple : 4 + 6 =10, 10 + 5 = 15, 15 + 20 = 35, etc. Ce qui n'est pas sans rappeler la règle de composition de la suite de Fibonacci...
Si on lit ce tableau selon la diagonale montant du bas-gauche vers le haut-droit, on trouve les suites :
1, (1, 1), (1, 2), (1, 3, 1), (1, 4, 3), (1, 5, 6, 1), …
dont les sommes donnent : 1, 2, 3, 5, 8, 13,... soit les termes de la suite de Fibonacci. Dit autrement, le nombre d'or se cache aussi dans une distribution à l'équilibre (ah ! L'harmonie!). Du régulier surgit du hasard !
Ce message a été édité - le 02-08-2023 à 05:34 par Jim
Posté à 05h07 le 02 août 23
https://lespoetes.net/forumvoirtopic.php?t=21598
Ce message a été édité - le 02-08-2023 à 13:38 par Pierrelamy
Posté à 06h22 le 02 août 23
Merci Jim pour ces explications à ta façon...
Mystérieuse, farfelue mais humaine, cette divine proportion qui régirait l'ordre de l'univers...
Posté à 09h35 le 04 août 23